Đề thi học sinh giỏi Toán 9
năm học 2007-2008
Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng với mọi n N*
Bài 3 (1,5 đ):
Giải phương trình
a/ + 6x -5-x2 b/
Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, + + ều là các số hữu tỉ thì cũng là các số hữu tỉ.
Bài 5 (1,5 đ):
1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạng
2/Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng là lớn nhất.
Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đường cao OH, AK biết OA = a,
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2Từ đó biểu diễn sin2cos2theo sincos
Bài 7 (2 đ) :
Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB ?

=============================
Hướng dẫn chấm
-----------------
Bài 1 (1 đ): Ta có: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 + = (0,75 đ). Vậy M có giá trị nhỏ nhất là 2008 khi (0,25 đ)
Bài 2 (1 đ): Để ý rằng= < 0,5đ)
Do đó : ; ;
Cộng các bđt trên, ta có: (0,5đ) (đpcm)
Bài 3 (1,5 đ):
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 (0,5đ), vậy pt trình có nghiệm khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm được x = 3 (0,5đ).
b) Ta có
Đặt ; với a, b (0,25đ)
Đưa pt về dạng
Giải pt ta tìm được x = và x = (0,25đ)
Bài 4 (0,5 đ):
Đặt t = + + Q, Ta có: + = - t x + y + 2= z + t2 – 2t
2= - x – y + z + t2 - 2t4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z – t2)
(x + y + z – t2)2 + 4zt2 – 4xy = 4t (t2 – x –y – z) (0,25đ)
Nếu t = 0 : + + = 0 x = y = z = 0 = = 0 Q
Nếu t2 – x – y + z = 0, t 0: thì 2= - 2t + t = 0
Q
* Nếu t ( t2 – x –y + z) 0 = Q
Lập luận tươ