Phòng Giáo dục & Đào tạo Huyện Tiên Lãng

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử
a/ x3 - x2 - 2x + 2.
b/ (x - a)b3 - (x-b)a3 + (a- b)x3.

Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình:
a/

b/


Bài 3: ( 2 điểm)
a/ Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.
b/ Cho các số dương x, y thoả mãn x3+y3 = x-y. Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1

Bài 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM =
BC. Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho CN =
BC. AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K. Chứng minh: KM
AC.

Bài 5: ( 2 điểm)
Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trung tuyến AM, phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm M vẽ tia Ax sao cho AD là tia phân giác của
. Ax cắt BC tại N. Chứng minh rằng :
.


**************Hết**************







Hướng dẫn chấm
bài thi học sinh giỏi môn toán lớp 8
Năm học 2008 - 2009

Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử
a/ x3 - x2 - 2x + 2 = x2(x-1) - 2(x-1) 0.25đ
= (x-1)(x2-2) 0.25đ
= (x-1)(x-
)(x+
) 0.25đ
b/ (x - a)b3 - (x-b)a3 + (a- b)x3 = (x - a)b3 -xa3 + ba3 + ax3 - bx3 0.25đ
= (x - a)b3 +ax(x2-a2) - b(x3-a3) 0.25đ
= (x-a)(b3+ ax2+ a2x - bx2 -abx - a2b) 0.25đ
= (x-a)(x-b)(a2+ax-b2-bx) 0.25đ
= (x-a)(x-b)(a-b)(a+b+x) 0.25đ
Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình:
a/

ĐKXĐ: x

2; x
0. 0.25đ
Quy đồng mẫu, khử mẫu được:
2x - (x-4)(2-x) = x+2 0.25đ
(x-2)(x-3) = 0 0.25đ



Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. 0.25đ
b/



0.25đ


= 0 0.25đ

x – 100 = 0 0.25đ

x = 100
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 100. 0.25đ
Bài 3: ( 2 điểm)
a/ Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là a, a+1, a+2, a +3 (a
N*). 0.25đ
Tích của chúng là P = a(a+1)(a+2)(a+3)
= (a2+3a)(a2+3a+2) 0.25đ
P = (a2+3a)2 +2(a2+3a) >(a2+3a)2 (Do a là số nguyên dương). 0.25đ
P = (a2+3a+1)2 - 1 <(a2+3a+1)2 .
Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.0.25đ
b/ Do x, y dương nên có x-y = x3+y3 > x3-y3 đo đó x - y > (x-y)(x2+xy+y2) 0.25đ

(x-y)(x2+xy+y2-1